Как не ошибиться в подсчете математического ожидания?

Если Вы уже прочли нашу первую статью о математическом ожидании, то она могла показаться Вам довольно сложной для понимания, так как материал насыщен математическими подсчетами. Эта статья будет немного проще, так как в ней описывается более общий, реалистичный и прагматичный подход к использованию математического ожидания в покере, особенно в Техасском Холдеме. Если Вы еще не прочитали первую статью, мы настоятельно рекомендуем ознакомиться с ней, так как в данной статье мы будем говорить о понятиях и идеях, предполагающих, что Вы уже знаете и понимаете, что такое математическое ожидание для руки и для пота. (Добавление: автор признает, что слукавил, и что в статье оказалось гораздо больше математики, чем он предполагал. Однако понимание математических подсчетов не так важно, как выводы, которые Вы можете сделать. Если Вам удастся и то, и другое – великолепно, если нет – статья все равно пойдет Вам на пользу.)

Распространенные ошибки при подсчете математического ожидания

Если Вы относитесь к большинству начитанных игроков в покер, то Вы думаете, что математическое ожидание для составления стрита или флеша равно 2:1, потому что именно это написано во многих учебниках по покеру. Автор заявляет, что это утверждение может быть большим заблуждением и его нельзя использовать в игре бездумно. Вот список распространенных ошибок при подсчете математического ожидания:

Мы рассмотрим каждый их этих пунктов подробнее, объясним, почему они являются типичными ошибками многих игроков в покер, и расскажем, как их исправить.

Подсчет математического ожидания сразу для всей раздачи

Автор считает, что одной из основных причин того, что многие игроки совершают эту ошибку при подсчете математического ожидания, состоит в том, что в учебниках по покеру в таблицах с математическим ожиданием практически всегда указано сначала математическое ожидание на составление руки на ривере, затем – на составление руки на терне. На самом деле, если Вы не участвуете в безлимитном турнире или не играете в безумную No-limit круговую игру, Вам практически никогда не придется рассчитывать математическое ожидание Вашей руки сразу для двух карт. В подавляющем большинстве случаев Вам нужно будет подсчитать математическое ожидание для Вашей текущей руки до следующей карты, и рассчитывать что-то дальше совершенно бессмысленно. Вы окажете себе хорошую услугу, если забудете, чему равно математическое ожидание для составления Вашей руки на ривере, а вместо этого запомните, каково математическое ожидание для каждой карты отдельно.

Пример: многие игроки пытаются составить двусторонние стрит-дро, думая при этом, что их математическое ожидание для пота должно быть всего 2:1. Это в корне неверно. На самом деле шансы на составление двустороннего стрит-дро при подсчете математического ожидания для каждой карты отдельно составляют всего 4,7:1. Это очень далеко от 2:1, и даже от 4:1 отличается почти на целый бет размером с большой блайнд.

Ошибки при подсчете аутов

Подсчет аутов – очень важное умение, на которое часто не обращают должного внимания или воспринимают его слишком легкомысленно. Каждый раз, когда Вы пытаетесь составить дро, Вам нужно точно знать, сколько у Вас истинных аутов. Истинные ауты – это карты, которые улучшают Вашу руку, при этом не улучшая руки оппонентов. Аут, который может Вам помешать, называется ложным. Зачастую Ваши истинные ауты могут быть неочевидны, так как Вы не всегда точно знаете, окажется ли тот или иной аут ложным. Поэтому Ваша способность считывать оппонентов и понимать, какая у них рука, будет решающим фактором в определении Ваших истинных аутов.

Пример: игроки нередко пытаются составить стрит, когда на столе присутствует возможность флеш-дро. Они делают это потому, что не учитывают, что два из аутов для их стрита на самом деле помогают кому-то из противников составить флеш. Обратный пример – игрок при карманных А-К и тузе на борде вдруг сталкивается с рейзом от игрока, находящегося в позиции большого блайнда, у которого, вероятно, две пары. Игрок с карманными А-К думает, что для выигрыша в раздаче ему нужен еще один туз или король (то есть у него 5 аутов), когда в действительности у него на 3 аута больше (карты, при которых на столе окажется пара, но у оппонента не составится фулхаус), то есть у него 8 аутов. Еще одна распространенная ошибка – непонимание, что туз является ложным аутом в ситуации, когда Вы составили среднюю пару, допустим, на флопе, и Ваше математическое ожидание для пота позволяет Вам попытаться составить две пары. При тузе на борде у Вас составится лучшая рука, но если при этом у кого-то из оппонентов топовая пара, то у него также составятся две пары, то есть туз для Вас совершенно бесполезен. Так происходит не всегда, но об этом нужно помнить.

Ошибочное неучитывание предполагаемой стоимости

Многие игроки совершают очень большую ошибку, не принимая во внимание предполагаемую стоимость – они сбрасывают руки, при которых могли бы ничего не проиграть или даже выиграть. Освежим в памяти понятие «предполагаемой стоимости» - это дополнительный бет, который попадает в пот, когда оппонент коллирует Вас или объявляет бет на ривере уже после того, как Вы составили руку. Предполагаемая стоимость означает, что оппонент действительно объявит дополнительный бет на ривере, хотя в некоторых старых или слабых тайтовых учебниках пишут, что он этого не сделает. На самом деле, в большинстве случаев это неверно.

Игроки в покер через интернет, особенно в играх на низких лимитах, зачастую весьма охотно делают беты на ривере, если до него доходят, поэтому можно почти автоматически предположить, что на ривере Вы получите от них дополнительный бет. На практике это означает, что при подсчете Вашего математического ожидания для руки его можно уменьшать на один. На самом деле, математическое ожидание от флопа до терна можно уменьшать сразу на 2, так как предполагаемое математическое ожидание удваивается, если рассматривать бет на терне относительно бета на флопе (здесь мы говорим об игре в лимитный покер).

Пример 1: предположим, в игре на лимитах 3/6 долларов у Вас разномастные Т-7, и Вы находитесь в позиции большого блайнда. В пот входят два лимпера, а игрок в позиции малого блайнда сбрасывает карты (в поте 10 долларов). Вы объявляете чек, а на флопе приходят Т-8-6 все разной масти (rainbow). Вы снова объявляете чек, один из лимперов делает бет, оставшиеся 2 игрока сбрасывают карты, и Вам надо принять решение. Теперь в поте 13 долларов при стоимости колла 3 доллара, то есть Ваше математическое ожидание для пота равно 4,3:1. Для составления этой руки у Вас 7 аутов (3 аута для составления двух пар и 4 аута для «дырявого» стрита, при этом предполагается, что у оппонента топовая пара, лучший кикер или оверпара). При 7 аутах математическое ожидание для Вашей руки равно 5,6:1,то есть при сравнении с математическим ожиданием для пота 4,3:1 согласно традиционной теории подсчета математического ожидания, Вам нужно сбросить карты. Однако если Вы учтете предполагаемую стоимость и тот факт, что на терне она удваивается, математическое ожидание для Вашей руки составит 3,6:1. Это может оказаться довольно сложно для понимания, поэтому давайте посмотрим на конкретные цифры:

Теперь посмотрим на результат розыгрыша 100 таких раздач:

Примечание: если Вы очень наблюдательны, то Вы, наверное, уже заметили, что для данной руки предполагаемая стоимость даже выше, потому что если у Вас составится рука, то скорее всего, Вы объявите рейз на терне и бет на ривере, то есть в пот добавится еще один или два больших блайнда. Для чистоты теории мы не будем учитывать этот факт, однако на практике при такой руке Вы можете добавить целый большой блайнд к предполагаемой стоимости.

ВАЖНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ: при чтении этой части статьи многие из Вас кивают головой, смотрят на математическое ожидание и думают, что предполагаемая стоимость делает это дро оправданным, но при этом сумма выигрыша очень незначительна – всего 1/10 большого блайнда. Из-за этого Вы можете подумать, что при подсчете шансов для Вашей руки нет необходимости так внимательно относиться к предполагаемому математическому ожиданию. Однако такой образ мысли полностью уничтожит Ваш банкролл.

Можно и не говорить, что разыгрывая такую руку неверно, Вы будете проигрывать 4,5 больших блайнда в час, но если Вы постоянно будете разыгрывать такие руки неправильно, то на длинной дистанции Вы потеряете гораздо больше. Именно поэтому полное и точное понимание математического ожидания совершенно необходимо для того, чтобы выигрывать в покере – особенно при игре на низких лимитах. Знание, когда нужно разыгрывать пограничные (средние по силе) руки, может оказаться решающим фактором в превращении Вас из слабого в сильного игрока, если Вы всегда сможете видеть выгодные для себя ситуации.

Пример 2: предположим, в игре на лимитах 3/6 долларов у Вас разномастные А-К, и Вы находитесь в средней позиции. Лимпер, находящийся в ранней позиции, коллирует, Вы объявляете рейз до 6 долларов, все игроки до противника в позиции большого блайнда сбрасывают карты, а последний объявляет колл, как и лимпер, делавший ход первым. В поте 18 долларов, на флопе приходит мусор. Игрок в позиции большого блайнда объявляет бет, лимпер в ранней позиции сбрасывает карты, и в итоге Ваше математическое ожидание оказывается равно 21:3 или 7:1. Вы предполагаете, что у оппонента в позиции большого блайнда составилась пара, и скорее всего, у Вас 6 аутов для составления лучшей пары. Математическое ожидание для того, что придет король или туз, составляет 6,7:1, если считать каждую карту отдельно.

На первый взгляд, разыгрывать эту руку выгодно, так как Ваше математическое ожидание для пота лучше, чем для руки, но при этом Вы должны учесть, что у оппонента может составиться что-то лучше, чем одна пара, или оказаться король или туз, из-за чего Ваши ауты станут ложными. В таком случае теоретически Вы просто ничего не проиграете. Однако на практике в большинстве случаев у противника окажется пара, и благодаря предполагаемой стоимости математическое ожидание для Вашей руки скорее равно 8,7:1, что полностью устраняет угрозу ложных аутов.

Продвинутое применение математического ожидания

Однако это еще не все. Игроку среднего уровня этого достаточно для того, чтобы определиться, что такую руку стоит разыгрывать, потому что математическое ожидание для их руки на самом деле составляет 8,7:1. Однако давайте посмотрим, что произойдет на терне. Допустим, Вы проколлили бет на флопе, а на терне оппонент объявил бет, хотя пришел мусор. Сейчас в поте 30 долларов, а математическое ожидание для Вашей руки на терне равно 5:1. Даже учитывая предполагаемую стоимость на терне, Вы не можете продолжать разыгрывать руку и должны в этот момент сбросить карты, если только Вы не собираетесь вытеснить противника их пота при помощи блефа. Раздача для Вас окончена.

Однако давайте рассмотрим стратегию атаки при помощи предполагаемой стоимости. Итак, Ваша очередь делать ход на флопе. Вместо колла Вы объявляете рейз. Благодаря рейзу Ваше математическое ожидание для пота возрастает до 36:6 или 6:1, то есть на практике при учитывании предполагаемой стоимости оно равно 7:1.

Все это просто подсчеты на бумаге. Один из факторов, который здесь не учтен, но с которым легко справиться – это то, что произойдет в случае, если игрок в позиции большого блайнда на флопе объявит ререйз? Все просто – Вы сбросите руку, потому что в таком случае у него, скорее всего, составилось что-то лучшее, чем топовая пара или у него на руках туз, превращающий Ваши ауты в ложные и делающий Ваше дро невыгодным.

Что не было учтено в расчетах, приведенных выше, так это блеф на основании предполагаемой стоимости и фактор «бесплатной карты». При рейзе Вы можете ожидать, что оппонент в этой раздаче сбросит карты в 5%-15% случаев. Если взять для расчетов нижнюю границу, то мы получим, что противник сбросит карты в 5 случаях из 100, то есть Ваш выигрыш увеличивается на 105 долларов ($21 пот на флопе * 5 удавшихся блефов), что превращает игру из невыгодной в выгодную. И это еще только начало.

Вы также можете использовать в своих интересах фактор «бесплатной карты». Мы можем предположить, что если оппонент коллирует, то он, вероятно, объявит Вам чек в 30-70% случаев, то есть Вы увидите следующую карту бесплатно. Мы снова возьмем для расчетов нижнюю границу – 30% и пересчитаем, сколько нам на самом деле будет стоит разыгрывание этой руки, если на терне ничего не придет.

-- в случае если оппонент объявляет бет --

-- в случае если оппонент объявляет чек --

-- Итого --

Средний предполагаемый выигрыш = ($169 чистой прибыли / 100 раздач) = $1.69 для одной руки = ~0.3 большого блайнда для одной руки
Средний выигрыш в час = 13,5 больших блайндов в час.

Помните, что при этих расчетах мы предполагали, что оппонент в ответ на Ваш блеф сбросит карты всего в 5% случаев и позволит Вам увидеть карту бесплатно в 30% случаев. То, что в итоге даже при таких цифрах Вы выигрываете, доказывает, что предполагаемая стоимость и блеф на ее основании не только могут, но и должны быть использованы в качестве инструментов агрессивной атаки – особенно в ситуациях, когда Вы можете определить и выбрать тех оппонентов, кто чаще всего будет объявлять фолды и чеки, так как против них такая стратегия наиболее эффективна и выгодна.

Заключение.

В завершение этой статьи о верном подсчете математического ожидания вспомните, как Вы обычно разыгрываете А-К, если на флопе Вам ничего не приходит, а противник в позиции большого блайнда объявляет бет. Большинство игроков даже не задумываясь сбрасывают карты и избавляются от руки. Мы надеемся, что Вы прочитали и поняли все, написанное выше, и теперь сможете применить эту информацию, чтобы не просто разыгрывать дро для обороны, но и вести наступательную игру. Именно здесь особенно важны понятия агрессивности, фактора «бесплатной карты» и folding equity, так как они открывают намного более широкие возможности, чем обычная игра с дро.